Bài tập giới hạn của dãy số có lời giải

Với cách giải những dạng toán về Giới hạn của hàng số môn Tân oán lớp 11 Đại số với Giải tích bao gồm phương pháp giải cụ thể, bài xích tập minh họa tất cả giải mã cùng bài xích tập từ luyện để giúp học viên biết cách có tác dụng bài tập các dạng toán thù về Giới hạn của dãy số lớp 11. Mời chúng ta đón xem:

Giới hạn của dãy số cùng biện pháp giải bài bác tập - Tân oán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Dãy số gồm số lượng giới hạn 0

Ta bảo rằng dãy số (un) bao gồm số lượng giới hạn là 0 Lúc n dần dần tới dương vô cực, nếu như với từng số dương bé dại tùy ý mang lại trước, phần đa số hạng của dãy số Tính từ lúc một số trong những hạng như thế nào kia trở đi, |un| bé dại rộng số dương kia.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn của dãy số có lời giải

Kí hiệu: limn→∞un=0xuất xắc lim un = 0 tuyệt un→0khi n→+∞.

b) Dãy số gồm số lượng giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng dãy số (un) tất cả số lượng giới hạn là số thực L trường hợp llặng (un – L) = 0

Kí hiệu: limn→∞un=Lgiỏi lyên un = L xuất xắc un→LKhi n→+∞.

c) Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số (un) có giới hạn là +∞khi n→+∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu:limun=+∞ hoặcun→+∞  khi n→+∞ 

Dãy số (un) có giới hạn là -∞ Khi n→+∞, nếulim−un=+∞

Ký hiệu:limun=−∞ hoặc un→−∞  khi n→+∞ 

d) Một vài ba giới hạn quánh biệt

limun=0⇔limun=0

lim1n=0;  lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*

limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*

limqn=0 khi   q1+∞ khi   q>1

e) Định lý về giới hạn hữu hạn

* Nếu lyên ổn un = a và llặng vn = b và c là hằng số. Khi kia ta có:

lim(un + vn) = a + b

lim(un - vn) = a - b

lim(un vn) = a.b

limunvn=ab,b≠0

lim(cun ) = c.a

lim|un | = |a|

limun3=a3

Nếu un≥0với đa số n thì a≥0với limun=a.

* Định lí kẹp: Cho cha hàng số (vn); (un) cùng (wn):

Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lyên un = a.

Hệ quả: Cho nhị hàng số (un) cùng (vn):

Nếu un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0thì lyên un = 0.

f) Một vài nguyên tắc kiếm tìm số lượng giới hạn vô cực

* Quy tắc tìm kiếm giới hạn tích lyên (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). khi đó: lyên ổn (unvn)

* Quy tắc tra cứu số lượng giới hạn thương

g) Tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn

Xét cấp số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … gồm công bội |q| S=u1+u1q+u1q2+....=u11−q   q1

2. Các dạng toán

Dạng 1: Tính giới hạn sử dụng một vài số lượng giới hạn sệt biệt

Phương thơm pháp giải:

Sử dụng các giới hạn sệt biệt:

limun=0⇔limun=0

lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*

limqn=0khi   q1+∞khi   q>1

lấy một ví dụ minc họa:

ví dụ như 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim1n2

b)lim1n2+n+3

c)lim1nn

Lời giải

Áp dụng bí quyết tính giới hạn đặc trưng, ta có:

a)lim1n2=0

b)lim1n2+n+3=0

c)lim1nn=0

Ví dụ 2: Tính các số lượng giới hạn sau:

a)lim12n

b)lim54n+1

c) llặng (-0,999)n

Lời giải

a) lim12n=0 vì121

b) lim54n+1=+∞ vì54>1

c) lim (-0,999)n = 0 bởi |-0,999| Dạng 2: Tính giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương thơm pháp giải:

Trường phù hợp lũy quá của n: Chia cả tử cùng với chủng loại mang đến nk (với nk là lũy quá với số mũ to nhất).

Trường phù hợp lũy thừa nón n: Chia cả tử với chủng loại mang lại lũy thừa có cơ số lớn nhất.

Sử dụng một vài số lượng giới hạn quánh biệt:

limun=0⇔limun=0lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*limqn=0 khi   q1+∞ khi   q>1

lấy ví dụ như minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

a)lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n

b)lim−5n+4n−7n+1+4n+1

c)lim2nn+1n2+2n−3

Lời giải

a)lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n=lim−2n3+3n2+4n4n4+4n3+nn4

=lim−2n+3n2+4n41+4n+1n3=−0+0+41+0+0=0

Vìlim2n=0, lim3n2=0, lim4n4=0, lim4n=0 với lim1n3=0.

b)lim−5n+4n−7n+1+4n+1=lim−5n−7n+1+4n−7n+1−7n+1−7n+1+4n+1−7n+1

=lim1−7.−5−7n+1−7.4−7n1+4−7n+1=1−7.0+1−7.01+0=0

Vì lim−5−7n=lim4−7n=0

c)lim2nn+1n2+2n−3=lim2nn+1n2n2+2n−3n2

=lim2n+1n21+2nn−3n2=0+01+0−0=0

Vì lim2n=0,lim1n2=0, lim2nn=0,lim3n2=0

lấy một ví dụ 2: Tính các số lượng giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 3: Tính số lượng giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp

Phương thơm pháp giải: Sử dụng những cách làm liên hợp (thường xuyên thực hiện trong các bài toán đựng căn)

lấy ví dụ như minh họa:

lấy một ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn sau:limn3+3n23−n

Lời giải

Dạng 4: Tính số lượng giới hạn ra vô cực dạng cất nhiều thức hoặc cnạp năng lượng thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của nhiều thức làm nhân tử thông thường.

Sử dụng luật lệ giới hạn cho tới vô rất lyên ổn (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)

Ví dụ minc họa:

lấy ví dụ như 1: Tính những giới hạn sau:

Lời giải

lấy ví dụ như 2: Tính những số lượng giới hạn sau

a)lim2n−n3+2n−2

b)limn2−n4n+1

Lời giải

Dạng 5: Tính số lượng giới hạn ra vô cực dạng phân thức

Pmùi hương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.

Sử dụng luật lệ số lượng giới hạn tới vô rất lyên ổn (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). lúc đó: lyên (unvn)

Ví dụ minch họa:

ví dụ như 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim2n4−3n3+2n3+2

b)lim2n−13n2+23−2n5+4n3−1

Lời giải

lấy ví dụ 2: Tính giới hạn sau lim3n2−2n4+3n−24n−3n2+2.

Lời giải

Dạng 6: Tính số lượng giới hạn sử dụng định lý kẹp

Phương thơm pháp giải:

Sử dụng định lý kẹp cùng hệ quả của định lý kẹp

Định lí kẹp: Cho tía dãy số (vn); (un) cùng (wn): Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lyên ổn un = a

Hệ quả: Cho nhị hàng số (un) và (vn): Nếu un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0 thì lim un = 0.

lấy một ví dụ minh họa:

ví dụ như 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim−1nn+4

b)lim−1n2n+1−13n+1

Lời giải

lấy một ví dụ 2: Tính các số lượng giới hạn sau:

a)limsin2nn+2

b)lim1+cosn32n+3

Lời giải

Dạng 7: Giới hạn hàng số bao gồm bí quyết tầm nã hồi

Pmùi hương pháp giải:

Cho dãy số (un) làm việc dạng bí quyết truy nã hồi, biết (un) bao gồm giới hạn hữu hạn

Giả sử llặng un = a (a là số thực) thì lyên un+1 = a.

Tgiỏi a vào cách làm truy tìm hồi. Giải pmùi hương trình tìm a.

Ta được giới hạn của (un) là lyên un = a.

Ví dụ minch họa:

Ví dụ 1: Tìm lyên un biết (un) tất cả giới hạn hữu hạn vàun:u1=1un+1=2un+3un+2,  n∈ℕ*

Lời giải

Giả sử lyên un = a, khi đó llặng un+1 = a

Suy raa=2a+3a+2⇒a2+2a=2a+3⇔a2=3⇔a=±3

Do u1=1>0,un+1=2un+3un+2>0  ∀n∈ℕ* nêna>0⇒a=3

Vậy limun=3.

lấy một ví dụ 2: Tìm llặng un biết (un) bao gồm giới hạn hữu hạn và un:u1=2un+1=2+un,  n∈ℕ*.

Lời giải

Vìu1=2>0; un+1=2+un>0

Giả sử lyên un = a (a > 0), khi đó lyên ổn un+1 = a

Suy ra a=2+a⇔a2=a+2

⇔a2−a−2=0⇔a=−1   (Loại)a=2  

Vậy lyên un = 2.

Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Phương thơm pháp giải:

* Rút ít gọn (un) (thực hiện tổng cấp cho số cộng, cung cấp số nhân hoặc phương pháp có tác dụng trội)

* Rồi tìm lyên ổn un theo định lí hoặc dùng nguyên ổn lí định lí kẹp.

* Định lí kẹp: Cho bố dãy số (vn); (un) với (wn): Nếuvn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lyên un = a

Hệ quả: Cho nhị hàng số (un) với (vn): Nếu un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0thì lim un = 0.

ví dụ như minch họa:

lấy ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)lim11.3+13.5+...+12n−12n+1

b)lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Lời giải

b)L=lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là 1 trong dãy số thủ túc số cùng gồm n số hạng với u1 = 1 cùng d = 1.

Tổng n số hạng của cấp cho số cộng:Sn=u1+unn2=1+nn2.

Xét mẫu số: Ta thấy 1; 3; 32; 33; …; 3n là một trong dãy số bộ hạ số nhân tất cả (n+1) số hạng cùng với u1 = 1 cùng q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của cấp cho số nhân:Sn+1=u1.1−qn+11−q=1−3n+11−3=3n+1−12.

Lúc đó:L=lim1+nn23n+1−12.(n+1)=limn3n+1−1

Vì n3n+1−1=n3.3n−1n3n2n3n=23n vàlim23n=0

NênL=limn3n+1−1=0

(Bằng quy nạp ta luôn luôn gồm n2n, ∀n∈ℕ*và 3n>1, ∀n∈ℕ*⇒3n+1−3n=2.3n>2>1⇒3n+1−1>3n).

lấy ví dụ như 2: Tính số lượng giới hạn sau:lim12⋅34⋅56⋅⋅⋅2n−12n

Lời giải

Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải:

Tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn là:S=u1+u1q+u1q2+....=u11−q   q1

lấy một ví dụ minch họa:

ví dụ như 1: Tính tổng

a)S=1+12+14+18+…

b)S=1+0,9+0,92+0,93+…

Lời giải

a) S=1+12+14+18+…là tổng cung cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 với q=12.

Nên S=1+12+14+18+…=11−12=2.

b) S=1+0,9+0,92+0,93+…là cung cấp số nhân lùi vô hạn cùng với u1 = 1 với q = 0,9.

Nên S=1+0,9+0,92+0,93+…=11−0,9=10.

ví dụ như 2: Biểu diễn những số thập phân vô hạn tuần trả ra phân số:

a) a = 0,32111...

b) b = 2,151515...

Lời giải

a) Ta cóa=0,32111...=32100+1103+1104+1105+...

Vì 1103+1104+1105+... là tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn với u1=1103vàq=110

Nên b=32100+11031−110=289900.

b) Ta cób=2,151515...=2+15100+151002+151003+...

Vì 15100+151002+151003+... là tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn cùng với u1=15100vàq=1100

Nên b=2+151001−1100=7133.

3. những bài tập từ bỏ luyện

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. lim1n3=0.

B. lim−1nn2=0.

C. lim1n3=−1.

D. lim1n=0.

Câu 2. Dãy số nào dưới đây bao gồm số lượng giới hạn bởi 0?

A. 43n.

B. −43n.

C. −53n.

D. 13n.

Câu 3. Dãy số như thế nào sau đây có giới hạn bởi 0?

A. limn2−2n5n+5n2.

B. lim1−2n5n+5.

C. lim1−2n25n+5.

D. lim1−2n5n+5n2.

Xem thêm: "Nam Thần Của Các Bà Nội Trợ" Lưu Khải Uy Sinh Năm Bao Nhiêu

Câu 4. Tính số lượng giới hạn limsinn!n2+1bằng

A. 0.

B. 1.

C. +∞.

D. 2.

Câu 5. Cho dãy số (un) cùng với un=1+3+5+...+2n−13n2+4. lúc đó lim un bằng

A. 13.

B. 0.

C. 23.

D. 1.

Câu 6. Cho dãy số (un) cùng với un=11.2+12.3+....+1nn+1. lúc đó lyên un bằng

A. 2.

B. 1.

C. 32.

D. Không bao gồm giới hạn.

Câu 7. Tính limn−8n3+3n+23bằng:

A. +∞.

B. -∞.

C. -1.

D. 0.

Câu 8. Tính limn+4n2−n33bằng:

A. -43.

B. +∞.

C. 43.

D. -4.

Câu 9. Tính lim3n−2.5n7+3.5nbằng:

A. 23.

B. -16.

C. 17.

D. -23.

Câu 10. Trong tứ giới hạn tiếp sau đây, giới hạn như thế nào là 0?

A. lim2n+31−2n.

B. lim2n+1n−32n−2n3.

C. lim1−2n2n2+2n.

D. lim2n+13.2n−3n.

Câu 11. Cho dãy số (un) được xác định vì u1=1, un+1=22un+1un+3với tất cả n≥1. Biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng: