Bài tập giới hạn hàm số lớp 11 có lời giải

Với cách giải những dạng toán về giới hạn của hàm số môn Tân oán lớp 11 Đại số và Giải tích có phương pháp giải chi tiết, bài tập minc họa gồm giải thuật và bài xích tập từ bỏ luyện để giúp đỡ học viên biết cách làm cho bài xích tập các dạng toán về giới hạn của hàm số lớp 11. Mời chúng ta đón xem:


Giới hạn của hàm số với cách giải bài tập - Toán thù lớp 11

1. Lý thuyết

a) Giới hạn của hàm số trên một điểm:

* Giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K cất điểm x0 . Ta bảo rằng hàm số f(x) xác định bên trên K (có thể trừ điểm x0) bao gồm giới hạn là L Khi x dần cho tới x0 đối với hàng số (xn) bất cứ, xn∈Kx0cùng xn→x0, ta có: f(xn)→L

Kí hiệu:limx→x0f(x)=L tuyệt f(x)→Llúc x→x0.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm số lớp 11 có lời giải

Nhận xét: Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác minh trên x0 thì limx→x0fx=fx0.

* Giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) bao gồm giới hạn dần cho tới dương vô rất Khi x dần dần tới x0 giả dụ với mọi hàng số (xn):xn→x0thì f(xn)→+∞.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x) bao gồm số lượng giới hạn dần cho tới âm vô rất lúc x dần dần tới x0 nếu như với mọi hàng số (xn):xn→x0thì f(xn)→−∞.

Kí hiệu: limx→x0f(x)=−∞.

b) Giới hạn của hàm số tại vô cực:

* Giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (a;+∞)bao gồm giới hạn là L khi x→+∞nếu như với tất cả hàng số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=L.

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b)tất cả giới hạn là L lúc x→−∞nếu như với đa số hàng số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→−∞f(x)=L.

* Giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định bên trên (a;+∞)có giới hạn dần dần cho tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) lúc x→+∞giả dụ với tất cả hàng số (xn):xn>avới xn→+∞thì f(xn)→+∞(hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=+∞(hoặc limx→+∞f(x)=-∞).

- Ta nói hàm số y = f(x) khẳng định trên (−∞;b)có giới hạn là dần tới dương hết sức (hoặc âm vô cùng) khi x→−∞nếu với mọi hàng số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→-∞f(x)=+∞(hoặc limx→-∞f(x)=−∞).

c) Các giới hạn đặc biệt:

*

d) Một vài ba định lý về giới hạn hữu hạn:

*

Chụ ý:

- Các định lý về số lượng giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi gắng x→x0bởi x→+∞ hoặc x→-∞.

- Định lí bên trên ta chỉ áp dụng cho phần đa hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho những giới hạn dần về vô cực.

* Nguim lí kẹp:

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác minh trên K chứa điểm x0 (rất có thể các hàm kia không xác định tại x0). Nếu g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì .

e) Quy tắc về số lượng giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)

*

Quy tắc tìm giới hạn của thươngf(x)g(x)

f) Giới hạn một bên:

* Giới hạn hữu hạn:

- Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f xác định bên trên khoảng chừng x0;b,x0∈ℝ. Ta nói rằng hàm số f gồm giới hạn mặt cần là số thực L Lúc dần cho x0 (hoặc trên điểm x0) giả dụ với đa số hàng số bất kì (xn) đầy đủ số nằm trong khoảng tầm (x0; b) mà lyên xn = x0 ta đều phải có llặng f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0+fx=Lhoặc fx→Llúc x→x0+.

- Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f xác định bên trên khoảng chừng a;x0,x0∈ℝ. Ta bảo rằng hàm số bao gồm giới hạn phía bên trái là số thực L lúc x dần cho x0 (hoặc tại điểm x0) trường hợp với mọi dãy bất kể (xn) hầu hết số nằm trong khoảng (a; x0) nhưng mà lyên xn = x0 ta đều có llặng f(xn) = L.

lúc kia ta viết: limx→x0−fx=Lhoặc fx→LLúc x→x0−.

- Nhận xét:

limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thế x→x0vì chưng x→x0− hoặc x→x0+.

* Giới hạn vô cực:

- Các định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞và limx→x0+fx=−∞được phát biểu tương tự như nhỏng khái niệm 1 với quan niệm 2.

- Nhận xét: Các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu như rứa L vày +∞ hoặc-∞

2. Các dạng bài xích tập

Dạng 1: Giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- Nếu f(x) là hàm số sơ cấp cho xác định trên x0 thìlimx→x0fx=fx0

- Áp dụng luật lệ về giới hạn cho tới vô cực:

*

lấy ví dụ như minch họa:

lấy một ví dụ 1: Tính những số lượng giới hạn sau:

*

Lời giải

ví dụ như 2: Tính những số lượng giới hạn sau:

*

Lời giải

Dạng 2: Giới hạn trên vô cực

Phương pháp giải:

- Rút ít lũy vượt gồm số mũ Khủng nhất

- Áp dụng phép tắc giới hạn cho tới vô cực

*

lấy ví dụ như minh họa:

lấy ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)limx→+∞(7x5+5x2−x+7)

b)limx→−∞4x5−3x3+x+1

Lời giải

*

lấy ví dụ như 2: Tính những số lượng giới hạn sau:

a)limx→+∞x6+5x−1

b)limx→−∞2x2+1+x

Lời giải

*

Dạng 3: Sử dụng nguyên lý kẹp

Ngulặng lí kẹp:

Cho bố hàm số f(x), g(x), h(x) khẳng định bên trên K đựng điểm x0 (rất có thể những hàm đó không xác định trên x0). Nếu g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì limx→x0f(x)=L.

Pmùi hương pháp giải:

Xét tính bị chặn của hàm số f(x) vày nhị hàm số g(x) cùng h(x) sao cholimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L

Chú ý tính bị chặn của hàm số lượng giác:

−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1

lấy ví dụ minch họa:

lấy một ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:

a)limx→0x2cos2nx

b)limx→−∞cos5x2x

Lời giải

*

lấy một ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x

Lời giải

*

Dạng 4: Giới hạn dạng vô định00

Nhận biết dạng vô định 00: Tính limx→x0f(x)g(x)trong đó f(x0) = g(x0) = 0.

Pmùi hương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta phân tích f(x) cùng g(x) sao cho lộ diện nhân tử thông thường là (x – x0)

Định lí: Nếu đa thức f(x) gồm nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* Nếu f(x) cùng g(x) là những nhiều thức thì ta so với f(x) = (x – x0)f1(x) cùng g(x) = (x – x0)g1(x).

lúc đó limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), trường hợp giới hạn này có dạng 00thì ta liên tiếp quá trình nhỏng trên.

Crúc ý: Nếu tam thức bậc nhị ax2 + bx + c tất cả hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* Nếu f(x) và g(x) là các hàm đựng căn uống thức thì ta nhân lượng phối hợp để đưa về những đa thức, rồi đối chiếu những đa thức nlỗi trên.

Các lượng liên hợp:

*

* Nếu f(x) cùng g(x) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng cách thức tách, chẳng hạn:

Nếu u(x)n,v(x)m→c thì ta phân tích:

u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)

Ví dụ minc họa:

ví dụ như 1: Tính các giới hạn sau:

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

b)limx→22x2−5x+2x3−8

Lời giải

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x2−2x−2x−3=32

b)limx→22x2−5x+2x3−8

=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1x2+2x+4=14

lấy ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Dạng 5: Giới hạn dạng vô định∞∞

Nhận biết dạng vô định∞∞

limx→x0uxvxKhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

Pmùi hương pháp giải:

- Chia tử với mẫu mã mang đến xn cùng với n là số mũ tối đa của biến sống mẫu (Hoặc phân tích thành tích cất nhân tử xn rồi giản ước).

- Nếu u(x) hoặc v(x) gồm đựng biến chuyển x vào dấu căn thì gửi xk ra phía bên ngoài vệt căn uống (Với k là nón tối đa của thay đổi x trong dấu căn), tiếp đến phân tách tử với mẫu mã đến lũy quá tối đa của x.

Ví dụ minc họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

ví dụ như 2: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

*

Dạng 6: Giới hạn dạng vô định ∞−∞ và0.∞

Phương pháp giải:

- Nếu biểu thức cất thay đổi số dưới dấu căn uống thì nhân cùng chia cùng với biểu thức liên hợp

- Nếu biểu thức đựng được nhiều phân thức thì quy đồng mẫu với mang lại và một biểu thức

ví dụ như minch họa:

ví dụ như 1: Tính các số lượng giới hạn sau:

*

Lời giải

*

ví dụ như 2: Tính những số lượng giới hạn sau:

a)limx→01x−1x2

b)limx→01x1x+1−1

Lời giải

*

Dạng 7: Tính số lượng giới hạn một bên

Pmùi hương pháp giải:

Sử dụng luật lệ tính số lượng giới hạn cho tới vô cực

*

ví dụ như minh họa:

ví dụ như 1: Tính các số lượng giới hạn sau:

*

Lời giải

*

lấy một ví dụ 2: Cho hàm số fx=x2+11−x khi x12x−2 khi x≥1. Tính:

a)limx→1+fx

b) limx→1−fx

Lời giải

a)limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0

b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vìlimx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1−⇒x1⇒1−x>0

Dạng 8: Tìm tđam mê số m nhằm hàm số bao gồm giới hạn ở một điểm mang lại trước

Phương thơm pháp giải:

Sử dụng nhấn xét:limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

- Tính giới hạnlimx→x0−fx;  limx→x0+fx

- Để hàm số có giới hạn tại x = x0 cho trước thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Tìm m.

Khi kia với m vừa tìm được, hàm số có số lượng giới hạn trên x = x0 cho trước cùng giới hạn kia bằngL=limx→x0−fx= limx→x0+fx

lấy ví dụ minch họa:

lấy một ví dụ 1: Cho hàm số fx=x2−3x+2x−2      x>2a                       x≤2. Với giá trị làm sao của a thì hàm số sẽ mang đến tất cả giới hạn trên điểm x = 2?

Lời giải

Ta có

limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1

limx→2−fx=a.

Để hàm số có giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.

⇒a=1

Vậy a = 1.

ví dụ như 2: Tìm những giá trị thực của tmê mệt số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7x2+2khi x>1nhằm hàm số để tồn tại limx→1fx.

Lời giải

Ta cólimx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2

Để hàm số tất cả số lượng giới hạn trên x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.

⇒m−3=−2⇔m=1

Vậy m = 1.

3. Bài tập từ bỏ luyện

Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1bằng:

A. -1

B. -∞

C.+∞

D. -3

Câu 2. Tính limx→+∞2x2−13−x2bằng:

A.

Xem thêm: Định Nghĩa Của Từ " Ngoằn Ngoèo Nghia La Gi, Ngoằn Ngoèo

-2

B.13

C.23

D. 2

Câu 3. Tính limx→2x3−8x2−4bằng:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Câu 4. Tính limx→−4x2+3x−4x2+4xbằng:

A. -1

B. 54

C. 1

D.-54

Câu 5. Tính limx→1x3−1x−1bằng:

A. 13

B. 1

C. 12

D. 2

Câu 6. Tính limx→0x3+1−1x2+xbằng:

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 7. Tính limx→−∞4x2−x+1x+1 bằng:

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7 bằng:

A.-∞

B.+∞

C. 0

D. 4

Câu 9. Tính limx→−∞−2x5+x4−33x2−7là:

A. 0

B. +∞

C. -2

D.-∞

Câu 10. Tínhlimx→+∞x2−4x−x

A. -2

B. -∞

C. 0

D.+∞

Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Giá trị của a là:

A. 6

B. 10

C. -10

D. -6

Câu 12. Kết quả đúng của limx→1x3−1x4−1bằng:

A. 34

B. 4

C. 43

D. 3

Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề làm sao đúng?

A. limx→−∞x4−x1−2x=0

B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞

C. limx→−∞x4−x1−2x=1

D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞

Câu 14. Cho fx=4−x2      −2≤x≤2x2−4x−2                         x>2. Tính limx→−2+fx.

A. 0

B. 4

C.+∞

D. Không tồn tại

Câu 15. Tìm các giá trị thực của tmê mệt số m nhằm hàm số fx=x+m khi  x0x2+1khi  x≥0 gồm số lượng giới hạn tại x = 0.